这里我们设无限为ω
ω×ω＝ω＾2
(ω＾2)×ω＝ω＾3
ω×ω×ω×ω×ω×ω×ω×ω……×ω＝ω＾ω
(ω＾ω)×y (y＜ω)
(ω＾ω)＾ω＝ω＾ω＾2
(ω＾ω)＾(ω＾2)＝ω＾ω＾ω
ω＾ω＾ω＾ω……＾ω＝ω↑↑ω＝ε0
ε0↑↑ω＝ε1
ε1↑↑ ω＝ε2
ε3↑↑ω＝ε3
照此无限的向下运算知道得到
εω
εω↑↑ω＝ε(ω+1)
ε(ω＋1)↑↑ω＝ε((ω＋1)＋1)
ε((ω＋1)+1)↑↑ω＝ε(((ω+1)+1)+1)
照此向下运算，直到
ε(ω↑↑ω)＝εε0＝ε(ε0)
ε(ε0↑↑ω)＝εε1＝ε(ε1)
ε(ε1↑↑ω)＝εε2＝ε(ε2)
以此向下运算直到
εεεεεεε……ε0＝ζ0
ζ0↑↑ω＝ζ1
ζ1↑↑ω＝ζ2
以此类推
ζω↑↑ω等于ζ(ω+1)
想必你们一定发现了规律，于是继续运算到最终
ζζζζζζζ……ζ0＝η0
接下来以此向后类推无限个字母并且作出运算
所有非负数的加起来的合是阿列夫零，阿列夫零是无限大，但阿列夫零无论如何运算都无法达到阿列夫1在这之上还有阿列夫二，阿列夫三等等，我们还可以一直迭代下去，直到阿列夫极限数，他是一个奇异基数，也叫阿列夫不动点，但就算是阿列夫不动点，也始终处于阿列夫的范畴，永远无法达到不可达基数的范畴
弱不可达基数
弱不可达基数是一种正则基数。既是极限基数又是正则基数的不可数基数。若N为弱不可达基数，则сʃ(α)＝(α)
，且α是极限序数。因为сf(Ν)≤Να，所以Ν≥α
可见N是非常大的。由定义还可看出，不可达基数κ不可能由比它小的基数通过基数的加法、乘法、乘幂和取极限等运算得到。
强不可达基数
强不可达基数是一种正则基数。简称不可达基数。既是正则的又是强极限的无穷基数。即如果正则基数κ满足
κ＞N
，且对任何
λ＜κ
有
2＜κ
κ就是一个强不可达基数。强不可达基数一定是弱不可达的。在广义连续统假设成立时，每个弱不可达基数也是强不可达的。这时这两个概念是相同的。在ZFC系统中不能证明不可达基数的存在性。称这种基数为不可达的原因是它不可能从比它小的基数出发，使用通常的集合论运算得到。
正则基数
正则基数是一种特殊基数。如果α为极限序数，且
cf(α)＝α
，则称α为正则的。正则的基数称为正则基数。不正则的无穷基数称为奇异基数。由于正则的序数一定是基数，故人们对正则的序数、正则序数、正则的基数和正则基数这几个概念不加区别地使用。通常也有人将ω称为正则基数，将N称为正则序数
若对于任意函数f:k→k存在a＜k满足{f(β):β∈a}⊆a以及在临界点a存在一个非平凡初等嵌入j:V→M使得V_j(f)(a)⊆M，k为武丁基数；
补充伯克利_club
如果存在伯克利基数，那么会有对力迫扩张绝对性，它使最小的伯克利基数具有共尾性ω。通过对κ施加一定的条件，可以增强伯克利性质。
特殊类型的伯克利基数：
如果κ是正则并且对所以club→C⊆κ和所有带κ传递集M∈M有j∈∈(M)的和
假设M是一个由ZFC模组组成的非空非空 我们说M是一个负宇宙，当且当他仅仅满足：
可数化公理
伪良基公理
可实现公理
力迫扩张公理
任何的集合论宇宙V弱α为集合论中的模型，如果可以在V之中定义或解释的，那么α同样可以做一个集合论宇宙。任何的集合论宇宙V中位于V内的力迫L，有一个为V[G]的力迫扩张其中G⊆L为V-generico 对于任何一个乃至所有的集合论宇宙存在这一个更高级的更高级的宇宙α并且存在着一个序数Y，当能满足α>αY≥V时对于所有集合论宇宙V，从另一个更好的集合论宇宙α是可列的所有非负数的加起来的合是阿列夫零，阿列夫零是无限大，但阿列夫零无论如何运算都无法达到阿列夫1在这之上还有阿列夫二，阿列夫三等等，我们还可以一直迭代下去，直到阿列夫极限数，他是一个奇异基数，也叫阿列夫不动点，但就算是阿列夫不动点，也始终处于阿列夫的范畴，永远无法达到不可达基数的范畴
弱不可达基数
弱不可达基数是一种正则基数。既是极限基数又是正则基数的不可数基数。若N为弱不可达基数，则сʃ(α)＝(α)
，且α是极限序数。因为сf(Ν)≤Να，所以Ν≥α
可见N是非常大的。由定义还可看出，不可达基数κ不可能由比它小的基数通过基数的加法、乘法、乘幂和取极限等运算得到。
强不可达基数
强不可达基数是一种正则基数。简称不可达基数。既是正则的又是强极限的无穷基数。即如果正则基数κ满足
κ＞N
，且对任何
λ＜κ
有
2＜κ
κ就是一个强不可达基数。强不可达基数一定是弱不可达的。在广义连续统假设成立时，每个弱不可达基数也是强不可达的。这时这两个概念是相同的。在ZFC系统中不能证明不可达基数的存在性。称这种基数为不可达的原因是它不可能从比它小的基数出发，使用通常的集合论运算得到。
正则基数
正则基数是一种特殊基数。如果α为极限序数，且
cf(α)＝α
，则称α为正则的。正则的基数称为正则基数。不正则的无穷基数称为奇异基数。由于正则的序数一定是基数，故人们对正则的序数、正则序数、正则的基数和正则基数这几个概念不加区别地使用。通常也有人将ω称为正则基数，将N称为正则序数
若对于任意函数f:k→k存在a＜k满足{f(β):β∈a}⊆a以及在临界点a存在一个非平凡初等嵌入j:V→M使得V_j(f)(a)⊆M，k为武丁基数；
补充伯克利_club
如果存在伯克利基数，那么会有对力迫扩张绝对性，它使最小的伯克利基数具有共尾性ω。通过对κ施加一定的条件，可以增强伯克利性质。
特殊类型的伯克利基数：
如果κ是正则并且对所以club→C⊆κ和所有带κ传递集M∈M有j∈∈(M)的和
假设M是一个由ZFC模组组成的非空非空 我们说M是一个负宇宙，当且当他仅仅满足：
可数化公理
伪良基公理
可实现公理
力迫扩张公理
任何的集合论宇宙V弱α为集合论中的模型，如果可以在V之中定义或解释的，那么α同样可以做一个集合论宇宙。任何的集合论宇宙V中位于V内的力迫L，有一个为V[G]的力迫扩张其中G⊆L为V-generico 对于任何一个乃至所有的集合论宇宙存在这一个更高级的更高级的宇宙α并且存在着一个序数Y，当能满足α>αY≥V时对于所有集合论宇宙V，从另一个更好的集合论宇宙α是可列的
从其他个更好的集合论宇宙来看，所有的集合论
从其他个更好的集合论宇宙来看，所有的集合论宇宙V都是ill-founded.的简单说法存在一个集合论宇宙V，并且对任何集合论宇宙β，存在一个集合论宇宙α已经α中的一个ZFC模型γ，使得在α的眼中，γ是一个由可数的非良基ZFC模型，那V便是复宇宙
在复宇宙中，没有哪个集合论宇宙是特别的，任何集合论宇宙都存在着比上个宇宙更好的宇宙并且能看到前者的局限性
逻辑多元:V-逻辑(V-logic),
V-逻辑具有 以下的常元符号:
a表示V的每一 个集合a
V表示宇宙全体集合容器V
在一阶逻辑的推理规则上添加以下规则:
vb,bEa, 4(b) FVxEa, 4(x)
Va,bEV, 4(a) FVx∈v, 4(x)
作为宽度完成主义者，我们不能直接谈论外模型，甚至不能谈论不属于V的集合。然而，使用V-逻辑，我们可以间接地谈论它们。考虑V逻辑中的理论，我们不仅有表示V的元素的常元符号aread-normal-img,和表示V本身的常元符号V，而且还有一个常元符号W来表示V的“外模型”
我们增加以下新公理。
1.宇宙V是ZFC (或至少是KP,可接受性理论)的一个模型。
2.W是ZFC的一个传递模型，包含V作为子集，并且与V有相同的序数。
因此，现在当我们采取一个遵守V-逻辑规则的公理模型时，我们会得到一个模拟ZFC (或至少 是KP)的宇宙,其中V被正确地解释为V, w被解释为V的外模型。请注意，V- 逻辑中的这一理论是在没有“加厚"V的情况下提出的，实际上它是在V+=La(V)内定义的。 由于我们采用了高度(而不是宽度)潜在主义，后者又是有意义的。最终我们可以用V-逻辑将|MH转写为以下形式:假设P是一个一阶句子， 上述理论连同公理“W满足P"在V-逻辑中是一致的。那么P在V的一个内模型中成立。
最终我们成功避免了直接谈论V的“增厚”(即“外模型") ，而是谈论用V-逻辑制定的理论的一致性，并在V+中定义使得满足宽度潜在主义。在可数模型上，宽度完成主义和激进潜在主义是等效的。通过V逻辑，我们可以得到V+(V-逻辑+ZFC的模型)也就是逻辑多元，V-逻辑足够广 泛，可以包含各种外部。与超宇宙的概念相反，V-逻辑不能化简为可数传递模型的集合，因为V不需要被认为是可数的。以后我们或许得到V* (任一致的逻辑+ZFC的模型)这种东西
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